1、和差倍问题
2、年龄问题的三个基本特点
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时降低的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3、归一问题的基本特征
问题中有一个不变的量，一般是那个单一量，题目一般用照如此的速度等词汇来表示。
重点问题：
依据题目中的条件确定并求出单一量；
4、植树问题
5、鸡兔同笼问题
基本定义：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不一样的差，找出这个差是多少；
③每一个事物导致的差是固定的，从而找出出现这个差是什么原因；
④再依据这两个差作适合的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数总头数－总脚数）（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）
重点问题：找出总量的差与单位量的差。
6、盈亏问题
基本定义：
适量的对象，根据某种标准分组，产生一种结果：根据另一种标准分组，又产生一种结果，因为分组的规范不同，导致结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
基本思路：
先将两种分配策略进行比较，剖析因为标准的差异导致结果的变化，依据这个关系求出参加分配的总份数，然后依据题意求出对象的总量。
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）两次每份数的差
②当两次都有余数；
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）两次每份数的差
③当两次都不足；
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差
基本特征：
对象总量和总的组数是不变的。
重点问题：
确定对象总量和总的组数。
7、牛吃草问题
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为1份，依据两次不一样的食用方法，求出其中的总草量的差；再找出导致这种差异是什么原因，即可确定草的成长速度和总草量。
基本特征：
原草量和新草成长速度是不变的；
重点问题：
确定两个不变的量。
基本公式：
成长量=（较长期长期牛头数-较短期短期牛头数）（长期-短期）；
总草量=较长期长期牛头数-较长期成长量；
8、周期循环与数表规律
周期现象：
事物在运动变化的过程中，某些特点有规律循环出现。
周期：
大家把连续两次出现所经过的时间叫周期。
重点问题：
确定循环周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②假如年份能被100整除，则年份需要能被400整除；
平 年：一年有365天。
①年份不可以被4整除；②假如年份能被100整除，但不可以被400整除；
9、平均数
基本公式：
①平均数=总数目总份数
总数目=平均数总份数
总份数=总数目平均数
②平均数=基准数＋每个数与基准数差的和总份数
基本算法：
①求出总数目与总份数，借助基本公式①进行计算.
②基准数法：依据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这类差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②
10、抽屉原理
抽屉原则1、
假如把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那样必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那样就有以下四种状况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
察看上面四种放物体的方法，大家会发现一个一同特征：总有那样一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则2、
假如把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那样必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m ]+1个物体：当n不可以被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解要点：
[X]表示低于X的最大整数。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
重点问题：
架构物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
11、概念新运算
基本定义：
概念一种新的运算符号，这个新的运算符号包括有多种基本（混合）运算。
基本思路：
严格根据新概念的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后根据基本运算过程、规律进行运算。
重点问题：
正确理解概念的运算符号的意义。
需要注意的地方：
①新的运算未必符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每一个新概念的运算符号只能在本题中用。
12、数列求和
等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是肯定的，如此的一列数，就叫做等差数列。
基本定义：
首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每个数的公式，一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：
等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量，假如己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，假如己知其中三个，就能求这第四个。
基本公式：
通项公式：an = a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1)公差；
数列和公式：sn,= n2；
数列和＝（首项＋末项）项数2；
项数公式：n= d＋1；
项数=（末项-首项）公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））（n－1）；
公差=（末项－首项）（项数－1）；
重点问题：
确定已知量和未知量，确定用的公式；
13、二进制及其应用
十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不一样的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。
=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7++A3102+A2101+A1100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
二进制：
用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不一样的含义。
（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
++A322+A221+A120
注意：An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①依据二进制满2进1的特征，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此办法一直找到差为0，根据二进制展开式特征即可写出。
14、加法乘法原理和几何计数
加法原理：
假如完成一件任务有n类办法，在第一类办法中有m1种不同办法，在第二类办法中有m2种不同办法，在第n类办法中有mn种不同办法，那样完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不一样的办法。
重点问题：
确定工作的分类办法。
基本特点：
每一种办法都可完成任务。
乘法原理：
假如完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种办法，不管第1步用哪一种办法，第2步总有m2种办法不管前面n-1步用哪种办法，第n步总有mn种办法，那样完成这件任务共有：m1m2.......mn种不一样的办法。
重点问题：
确定工作的完成步骤。
基本特点：
每一步只能完成任务的一部分。
直线：
一点在直线或空间沿肯定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特征：
没端点，没长度。
线段：
直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
线段特征：
有两个端点，有长度。
射线：
把直线的一端无限延长。
射线特征：
只有一个端点；没长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3++（点数一1）；
②数角规律=1+2+3++（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：
④数长方形规律：个数=11+22+33++行数列数
15、质数与合数
质数：
一个数除去1和它本身以外，没别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：
一个数除去1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：
假如某个质数是某个数的约数，那样这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。一般用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的规范表示形式：
N= ，其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数，且a1
求约数个数的公式：
P=
互质数：
假如两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16、约数与倍数
约数和倍数：
若整数a可以被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：
几个数公有些约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
比如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那样12和18的公约数有：1、2、3、6；
那样12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本办法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有些约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，可以整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：
几个数公有些倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48；
18的倍数有：18、36、54、72；
那样12和18的公倍数有：36、72、108；
那样12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本办法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的办法
17、数的整除
基本定义和符号：
1、整除：假如一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没余数，那样叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号|，不可以整除符号 ；由于符号∵，所以的符号；
整除判断办法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：每个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
整除的性质：
1.假如a、b能被c整除，那样（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2.假如a能被b整除，c是整数，那样a乘以c也能被b整除。
3.假如a能被b整除，b又能被c整除，那样a也能被c整除。
4.假如a能被b、c整除，那样a也能被b和c的最小公倍数整除。
18、余数及其应用
基本定义：
对任意自然数a、b、q、r，假如使得ab=qr，且0
余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19、余数、同余与周期
同余的概念：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，假如m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作ab，读作a同余于b模m。
同余的性质：
①自己性：aa；
②对称性：若ab，则ba；
③传递性：若ab，bc，则a c；
④和差性：若ab，cd，则a+cb+d，a-cb-d；
⑤相乘性：若a b，cd，则ac bd；
⑥乘方性：若ab，则anbn；
⑦同倍性:若a b，整数c，则ac bc；
关于乘方的预备常识：
①若A=ab，则MA=Mab=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=McMd
被3、9、11除后的余数特点：
①一个自然数M，n表示M的每个数位上数字的和，则Mn或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的每个奇数位上数字的和，Y表示M的每个偶数数位上数字的和，则MY-X或M11-（X-Y）；
费尔马小定理：
假如p是质数（素数），a是自然数，且a不可以被p整除，则ap-11。
20、分数与百分数的应用
基本定义与性质：
分数：把单位1平均分成几份，表示如此的一份或几份的数。
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：把单位1平均分成几份，表示如此一份的数。
百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用办法：
①逆向思维办法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行考虑。
②对应思维办法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维办法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最容易见到的是转换成比率和转换成倍数关系；把不一样的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。容易见到的处置办法是确定不一样的标准为一倍量。
④假设思维办法：为知道题的便捷，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种状况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维办法：在变化的每个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量怎么样变化，而这个量是一直固定不变的。有以下三种状况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有些分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维办法：用一种量代替另一种量，从而使数目关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间根据同分率变化的规律进行处置。
⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的情况。
21、分数大小的比较
基本办法：
①通分分子法：使所有分数的分子相同，依据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：使所有分数的分母相同，依据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准，使所有些分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差肯定时，分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除去运用以上办法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较办法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：借助倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数，每个数与基准数比较。
22、分数拆分
将一个分数单位分解成两个分数之和的公式
23、完全平方数
完全平方数特点：
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：
X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：
（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：
（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24、比和比率
比：
两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比值：
比的前项除将来项的商，叫做比值。
比的性质：
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。
比率：
表示两个比相等的式子叫做比率。a:b=c:d或
比率的性质：
两个外项积等于两个内项积，ad=bc。
正比率：
若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。
反比率：
若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。
比率尺：
图上距离与实质距离的比叫做比率尺。
按比率分配：
把几个数按肯定比率分成几份，叫按比率分配。
25、综合行程
基本定义：
行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式：
路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间
重点问题：
确定运动过程中的地方和方向。
相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追准时间＝路程差速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间
逆水行程=（船速-水速）逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）2
水 速=（顺水速度-逆水速度）2
流水问题：重点是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：重点是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要办法：画线段图法
基本题型：
已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追准时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
26、工程问题
基本公式：
①工作总量=工作效率工作时间
②工作效率=工作总量工作时间
③工作时间=工作总量工作效率
基本思路：
①假设工作总量为1（和总工作量无关）；
②假设一个便捷的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），借助上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
重点问题：
确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
27、逻辑推理
条件剖析假设法：
假设可能状况中的一种成立，然后根据这个假设去判断，假如有与题设条件矛盾的状况，说明该假设状况是不成立的，那样与他的相反状况是成立的。比如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那样a肯定是奇数。
条件剖析列表法：
当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助剖析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不一样的对象与状况，察看表格内的题设状况，运用逻辑规律进行判断。
条件剖析图表法：
当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示是，有等一定的状况，没连线则表示否定的状况。比如A和B两人之间有认识或不认识两种状况，有连线表示认识，没表示不认识。
逻辑计算：
在推理的过程中除去要进行条件剖析的推理以外，还要进行相应的计算，依据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
简单总结与推理：
依据题目提供的特点和数据，剖析其中存在的规律和办法，并从特殊状况推广到通常情况，并递推出有关的关系式，从而得到问题的解决。
28、几何面积
基本思路：
在一些面积的计算上，不可以直接运用公式的状况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要学会和记忆一些常规的面积规律。
常用办法：
1.连辅助线办法
2.借助等底等高的两个三角形面积相等。
3.大胆假设（有的点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊地方上）。
4.借助特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29、时钟问题快慢表问题
基本思路：
1、根据行程问题中的思维办法解题；
2、不一样的表当成速度不一样的运动物体；
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、时间是标准表所经过的时间；
5、合理借助行程问题中的比率关系；
30、时钟问题钟面追及
基本思路：
封闭曲线上的追及问题。
重点问题：
①确定分针与时针的初始地方；
②确定分针与时针的路程差；
基本办法：
①分格办法：
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格大家称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。
②度数办法：
从角度看法看，钟面圆周一周是360，分针每分钟转 360/60度，即6，时针每分钟转360/12X60度，即1/2度。
31、浓度与配比
经验总结：
在配比的过程中存在这种一个反比率关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。
溶质：溶解在其它物质里的物质（比如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质（比如水、汽油等）叫溶剂。
溶液：溶质和溶剂混合成的液体（比如盐水、糖水等）叫溶液。
基本公式：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量；
溶质重量=溶液重量浓度；
浓度= 溶质/溶液100%=溶质/（溶剂+溶质）100%
经验总结：
在配比的过程中存在这种一个反比率关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。
32、经济问题
收益的百分数=（卖价-本钱）本钱100%；
卖价=本钱（1+收益的百分数）；
本钱=卖价（1+收益的百分数）；
产品的定价根据期望的价值来确定；
定价=本钱（1+期望收益的百分数）；
本金：储蓄的金额；
利率：利息和本金的比；
利息=本金利率期数；
含税价格=不含税价格（1+增值税税率）；
33、不定方程
一次不定方程：
含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，因为它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；
常规办法：
察看法、试验法、枚举法；
多元不定方程：
含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；
多元不定方程解法：
依据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，如此就把三元一次方程变成二元一次不定方程，根据二元一次不定方程解即可；
涉及要点：
列方程、数的整除、大小比较；
解不定方程的步骤：
1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特点；6、确定答案；
方法总结：
A、写出表达式的方法：用特点不明显的未知数表示特点明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；
B、消元方法：消掉范围大的未知数；
34、循环小数
把循环小数的小数部分化成分数的规则：
①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
分数转化成循环小数的判断办法：
①一个最简分数，假如分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那样这个分数化成的小数一定是混循环小数。
②一个最简分数，假如分母中只含有2和5以外的质因数，那样这个分数化成的小数一定是纯循环小数。
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